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逻辑联结词
NOT
¬
A
,
−
A
,
A
¯
,
∼
A
{\displaystyle \neg A,-A,{\overline {A}},\sim A}
AND
A
∧
B
,
A
⋅
B
,
A
B
,
A
&
B
,
A
&
&
B
{\displaystyle A\land B,A\cdot B,AB,A\ \&\ B,A\ \&\&\ B}
NAND
A
∧
¯
B
,
A
↑
B
,
A
∣
B
,
A
⋅
B
¯
{\displaystyle A{\overline {\land }}B,A\uparrow B,A\mid B,{\overline {A\cdot B}}}
OR
A
∨
B
,
A
+
B
,
A
∣
B
,
A
∥
B
{\displaystyle A\lor B,A+B,A\mid B,A\parallel B}
NOR
A
∨
¯
B
,
A
↓
B
,
A
+
B
¯
{\displaystyle A{\overline {\lor }}B,A\downarrow B,{\overline {A+B}}}
XNOR
A
⊙
B
,
A
∨
¯
B
¯
{\displaystyle A\odot B,{\overline {A{\overline {\lor }}B}}}
└ equivalent
A
≡
B
,
A
⇔
B
,
A
⇋
B
{\displaystyle A\equiv B,A\Leftrightarrow B,A\leftrightharpoons B}
XOR
A
∨
_
B
,
A
⊕
B
{\displaystyle A{\underline {\lor }}B,A\oplus B}
└nonequivalent
A
≢
B
,
A
⇎
B
,
A
↮
B
{\displaystyle A\not \equiv B,A\not \Leftrightarrow B,A\nleftrightarrow B}
implies
A
⇒
B
,
A
⊃
B
,
A
→
B
{\displaystyle A\Rightarrow B,A\supset B,A\rightarrow B}
nonimplication (NIMPLY)
A
⇏
B
,
A
⊅
B
,
A
↛
B
{\displaystyle A\not \Rightarrow B,A\not \supset B,A\nrightarrow B}
converse
A
⇐
B
,
A
⊂
B
,
A
←
B
{\displaystyle A\Leftarrow B,A\subset B,A\leftarrow B}
converse nonimplication（英语：Converse nonimplication）
A
⇍
B
,
A
⊄
B
,
A
↚
B
{\displaystyle A\not \Leftarrow B,A\not \subset B,A\nleftarrow B}
相关概念
命题演算谓词逻辑布尔代数真值表真值函数布尔函数函数完备性轄域
应用
数字逻辑编程语言数学逻辑逻辑哲学（英语：Philosophy of logic）
查论编
在形式逻辑中，逻辑运算符或逻辑联结词把语句连接成更复杂的复杂语句。例如，假设有两个逻辑命题，分别是“正在下雨”和“我在屋里”，我们可以将它们组成复杂命题“正在下雨，并且我在屋里”或“没有正在下雨”或“如果正在下雨，那么我在屋里”。一个将两个语句组成的新的语句或命题叫做复合语句或复合命题。又称逻辑操作符(Logical Operators)。
基本運算符[编辑]
基本的操作符有：“非”（¬）、“与”（∧）、“或”（∨）、“条件”（→）以及“双条件”（↔）。“非”是一个一元操作符，它只操作一项（
¬
P
{\displaystyle \neg P}
）。剩下的是二元操作符，操作两项来组成复杂语句（
P
∧
Q
{\displaystyle P\land Q}
,
P
∨
Q
{\displaystyle P\lor Q}
,
P
→
Q
{\displaystyle P\rightarrow Q}
,
P
↔
Q
{\displaystyle P\leftrightarrow Q}
）。
注意，符号“与”（∧）和交集（∩），“或”（∨）和并集（∪）的相似性。这不是巧合：交集的定义使用“与”，并集的定义是用“或”。
这些连接符的真值表:
P
Q
¬P
P ∧ Q
P ∨ Q
P → Q
P ↔ Q
T
T
F
T
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
T
F
T
T
F
F
F
T
F
F
T
T
为了减少需要的括号的数量，有以下的优先规则：¬高于∧，∧高于∨，∨高于→。例如，
P
∨
Q
∧
¬
R
→
S
{\displaystyle P\lor Q\land \neg R\rightarrow S}
是
(
P
∨
(
Q
∧
(
¬
R
)
)
→
S
{\displaystyle (P\lor (Q\land (\neg R))\rightarrow S}
的简便写法。
二元邏輯聯結詞表[编辑]
下面是在輸入
P
{\displaystyle P}
和
Q
{\displaystyle Q}
上的16個二元布林函數。
永假
符號
等價公式
真值表
文氏圖
⊥
{\displaystyle \bot }
P
∧
{\displaystyle \wedge }
¬P
Q
0
1
P
0
0
0
1
0
0
永真
符號
等價公式
真值表
文氏圖
⊤
{\displaystyle \top }
P
∨
{\displaystyle \vee }
¬P
Q
0
1
P
0
1
1
1
1
1
合取
符號
等價公式
真值表
文氏圖
P
∧
{\displaystyle \wedge }
QP & QP · QP AND Q
P
↛
{\displaystyle \not \rightarrow }
¬Q ¬P
↚
{\displaystyle \not \leftarrow }
Q ¬P
↓
{\displaystyle \downarrow }
¬Q
Q
0
1
P
0
0
0
1
0
1
與非
符號
等價公式
真值表
文氏圖
P ↑ QP | Q P NAND Q
P → ¬Q ¬P ← Q¬P ∨ ¬Q
Q
0
1
P
0
1
1
1
1
0
非蘊涵
符號
等價公式
真值表
文氏圖
P
↛
{\displaystyle \not \rightarrow }
Q P
⊅
{\displaystyle \not \supset }
Q
P & ¬Q ¬P ↓ Q ¬P
↚
{\displaystyle \not \leftarrow }
¬Q
Q
0
1
P
0
0
0
1
1
0
蘊涵
符號
等價公式
真值表
文氏圖
P → Q P
⊃
{\displaystyle \supset }
Q
P ↑ ¬Q ¬P ∨ Q ¬P ← ¬Q
Q
0
1
P
0
1
1
1
0
1
命題P
符號
等價公式
真值表
文氏圖
P
Q
0
1
P
0
0
0
1
1
1
非P
符號
等價公式
真值表
文氏圖
¬P~P
Q
0
1
P
0
1
1
1
0
0
反非蘊涵
符號
等價公式
真值表
文氏圖
P
↚
{\displaystyle \not \leftarrow }
Q P
⊄
{\displaystyle \not \subset }
Q
P ↓ ¬Q ¬P & Q ¬P
↛
{\displaystyle \not \rightarrow }
¬Q
Q
0
1
P
0
0
1
1
0
0
反蘊涵
符號
等價公式
真值表
文氏圖
P
←
{\displaystyle \leftarrow }
Q P
⊂
{\displaystyle \subset }
Q
P ∨ ¬Q ¬P ↑ Q ¬P → ¬Q
Q
0
1
P
0
1
0
1
1
1
命題Q
符號
等價公式
真值表
文氏圖
Q
Q
0
1
P
0
0
1
1
0
1
非Q
符號
等價公式
真值表
文氏圖
¬Q~Q
Q
0
1
P
0
1
0
1
1
0
異或
符號
等價公式
真值表
文氏圖
P
↮
{\displaystyle \not \leftrightarrow }
Q P
≢
{\displaystyle \not \equiv }
Q P
⊕
{\displaystyle \oplus }
QP XOR Q
P ↔ ¬Q ¬P ↔ Q ¬P
↮
{\displaystyle \not \leftrightarrow }
¬Q
Q
0
1
P
0
0
1
1
1
0
雙條件
符號
等價公式
真值表
文氏圖
P ↔ Q P ≡ QP XNOR Q P IFF Q
P
↮
{\displaystyle \not \leftrightarrow }
¬Q ¬P
↮
{\displaystyle \not \leftrightarrow }
Q ¬P ↔ ¬Q
Q
0
1
P
0
1
0
1
0
1
析取
符號
等價公式
真值表
文氏圖
P ∨ QP ∨ QP OR Q
P
←
{\displaystyle \leftarrow }
¬Q ¬P → Q ¬P ↑ ¬Q
Q
0
1
P
0
0
1
1
1
1
或非
符號
等價公式
真值表
文氏圖
P ↓ QP NOR Q
P
↚
{\displaystyle \not \leftarrow }
¬Q ¬P
↛
{\displaystyle \not \rightarrow }
Q ¬P ∧ ¬Q
Q
0
1
P
0
1
0
1
0
0
圖示[编辑]
真值表
哈斯圖
查论编逻辑联结词
恆真（
⊤
{\displaystyle \top }
）
与非（
↑
{\displaystyle \uparrow }
）
反蕴涵（
←
{\displaystyle \leftarrow }
）
蕴涵（
→
{\displaystyle \rightarrow }
）
或（
∨
{\displaystyle \lor }
）
非（
¬
{\displaystyle \neg }
）
异或（
⊕
{\displaystyle \oplus }
）
双条件（
↔
{\displaystyle \leftrightarrow }
）
命题
或非（
↓
{\displaystyle \downarrow }
）
非蕴涵（
↛
{\displaystyle \nrightarrow }
）
反非蕴涵（
↚
{\displaystyle \nleftarrow }
）
与（
∧
{\displaystyle \land }
）
恆假（
⊥
{\displaystyle \bot }
）
查论编数理逻辑基本概念
公理
列表
势
一阶逻辑
形式证法（英语：Formal proof）
邏輯語義學
数学基础
信息论
蕴涵
结构
集合
定理
形式理论
类型论
定理（列表（英语：Category:Theorems in the foundations of mathematics）及悖论（英语：Paradoxes of set theory））
哥德尔完备性定理及哥德尔不完备定理
塔斯基不可定義定理
巴拿赫-塔斯基定理
康托尔 定理、悖论和對角論證法
紧致性定理
停机问题
林德斯特伦定理（英语：Lindström's theorem）
勒文海姆–斯科伦定理
罗素悖论
逻辑传统逻辑
邏輯真理
恆真式
命题
推理
逻辑等价
一致性
相同一致性（英语：Equiconsistency）
逻辑论证
可靠性定理
有效性
直言三段论
对立四边形
文氏图
命题逻辑
逻辑代数
布尔函数
逻辑运算符
命题逻辑
命题公式
真值表
多值逻辑
三值
有限值（英语：Finite-valued logic）
无限值
经典逻辑
经典逻辑
一阶逻辑
二階邏輯
一元（英语：Monadic second-order logic）
高阶逻辑
自由逻辑
量化
谓词（英语：Predicate (mathematical logic)）
一元谓词演算
集合论
集合
遗传集（英语：Hereditary set）
类
（基本）元素
有序对
序数
子集
相等
外延性
力迫
关系
等价关系
集合划分
集合运算
交集
并集
补集
笛卡儿积
冪集
同一性（英语：List of set identities and relations）
集合种类
可數集
不可數集
空集
居集（英语：Inhabited set）
单元素集合
有限集合
无限集合
传递集合
超滤子（英语：Ultrafilter (set theory)）
递归集合
模糊集
全集
可构造全集（英语：Constructible universe）
格伦迪克全集（英语：Grothendieck universe）
冯·诺伊曼全集
映射与势
函数、映射
定义域
到达域
像
单射、满射、双射
康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理
同构
哥德尔数
列举法
大基数
不可達基數
阿列夫數
运算
二元运算
集合理论
策梅洛-弗兰克尔 (ZFC)
选择公理
连续统假设
广义集合论 (GST)（英语：General set theory）
克里普克-普拉克 (KP)（英语：Kripke–Platek set theory）
莫尔斯-凯利集合论 (MK)（英语：Morse–Kelley set theory）
朴素集合论
新基础集合论
塔斯基-格罗滕迪克 (TG)（英语：Tarski–Grothendieck set theory）
冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔 (NBG)
建构式集合论（英语：Constructive set theory）
句法（英语：Syntax (logic)）及语言
字母表
元数
自動機理論
公理模式
表達式
基础表达式（英语：Ground expression）
扩展（英语：Extension by new constant and function names）
关系
形式
文法
语言
证明
系统
理论
形成规则（英语：Formation rule）
合式公式
原子公式
封闭式
基本式（英语：Ground formula）
开放式
自由变量和约束变量
元語言
逻辑运算符
¬
∨
∧
→
↔
逻辑相等（英语：Logical equality）
谓词（英语：Predicate (mathematical logic)）
泛函谓词
谓词变量
命题变量
量化
∃
!
∀
级别（英语：Quantifier rank）
句子
原子句子
逻辑签名（英语：Signature (logic)）
字符串
替换法（英语：Substitution (logic)）
逻辑符号
函数符号
逻辑常量（英语：Logical constant）
非逻辑符号（英语：Non-logical symbol）
變數
逻辑术语（英语：Term (logic)）
公理系统示例（列表（英语：List of first-order theories））
实算术（英语：True arithmetic）
皮亚诺公理
二阶（英语：Second-order arithmetic）
初等函数（英语：Elementary function arithmetic）
原始递归（英语：Primitive recursive arithmetic）
罗宾逊算术（英语：Robinson arithmetic）
斯科勒姆算术（英语：Skolem arithmetic）
實數的構造
塔尔斯基公理化（英语：Tarski's axiomatization of the reals）
布尔代数
正则定义（英语：Boolean algebras canonically defined）
最小公理（英语：Minimal axioms for Boolean algebra）
几何（英语：Foundations of geometry）
欧几里得几何
《原本》
希尔伯特公理
非欧几里得几何
塔尔斯基公理（英语：Tarski's axioms）
《数学原理》
证明论
形式证明
自然演绎
蕴涵
推理规则
相继式演算
定理
系统
形式
公理
演绎
希尔伯特演绎系统
列表（英语：List of Hilbert systems）
完备理论（英语：Complete theory）
ZFC系统的独立性
列表
不可能证明（英语：Proof of impossibility）
序数分析（英语：Ordinal analysis）
逆数学
自恰理论（英语：Self-verifying theories）
模型论
解释
结构
初等等价
有限模型（英语：Finite model theory）
飽和模型
子结构
非标准模型
算术（英语：Non-standard model of arithmetic）
结构图（英语：Diagram (mathematical logic)）
基本图（英语：Elementary diagram）
分类理论（英语：Categorical theory）
完备模型论（英语：Model complete theory）
可满足性（英语：Satisfiability）
邏輯語義學
强度（英语：Strength (mathematical logic)）
真理
语义理论
塔尔斯基
克里普克
T-模式
转移原则（英语：Transfer principle）
真理谓词（英语：Truth predicate）
真值
型
超積
有效性
可计算性理论
邱奇数
邱奇-图灵论题
递归可枚举集合
可计算函数
递归集合
決定性問題
可决定性（英语：Decidability (logic)）
不可决定性
P
NP
P/NP问题
柯氏复杂性
Λ演算
原始递归函数
递归
递归集合
图灵机
类型论
其他相关
抽象逻辑（英语：Abstract logic）
范畴论
具象范畴、抽象范畴
集合范畴
逻辑史
数理逻辑
历史年表（英语：Timeline of mathematical logic）
邏輯主義
数学对象
数学哲学
超任务（英语：Supertask）
数学主题