大部分是上课做的笔记，包含我自己的一些思考的推导，希望可以帮助到大家！
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UPD 2024.11.2：撤除了引用格式并添加了分割线以分割不同结论及证明；修正了整除的 \(\KaTeX\) 格式；增加了某些括号和分数的大小以增强可读性。
\(fib_{n+k}=fib_n \times fib_{k+1}+fib_{n-1} \times fib_{k}\)
经典模型：一段台阶有 \(n\) 阶，从第 \(\mathbf{1}\) 阶开始，每次可以向上跳 \(1\) 阶或 \(2\) 阶，跳到第 \(n\) 阶的方案数即为 \(fib_n\)，跳到每一阶的方案数为斐波那契数列。
1
2
...
n-1
n
n+1
...
n+k-1
n+k
...
1
2
...
k
k+1
1
...
k-1
k
从 \(1\) 到 \(n+k\) 分为经过 \(n\) 和不经过 \(n\) 两种路线。设从 \(l\) 到 \(r\) 的路线数量为 \(cnt_{l,r}\)，则根据模型结论，\(cnt_{1,n}=fib_n\)。
经过 \(n\) 的路线数量 \(=cnt_{1,n} \times cnt_{n,k}\)，把 \(n\) 看作 \(1\) 后，\(n+k\) 被看作 \(k+1\)（见上表第二行），所以 \(cnt_{n,k}= fib_{k+1}\)。总数为 \(fib_n \times fib_{k+1}\)；
不经过 \(n\) 的路线数量 \(= cnt_{1,n-1} \times cnt_{n-1,n+1} \times cnt_{n+1,n+k}\)。由于不能经过 \(n\)，所以 \(cnt_{n-1,n+1}\) 有且仅有跳 \(2\) 阶一种方案，故 \(cnt_{n-1,n+1}=1\)；把 \(n+1\) 看作 \(1\) 后，\(n+k\) 被看作 \(k\)（见上表第三行），所以 \(cnt_{n+1,n+k}=fib_k\)。总数为 \(fib_{n-1} \times 1 \times fib_k = fib_{n-1} \times fib_k\)。
综上所述，\(fib_{n+k}=\) 经过 \(n\) 的路线数量 \(+\) 不经过 \(n\) 的路线数量 \(=fib_n \times fib_{k+1} + fib_{n-1} \times fib_k\)
\(\gcd(fib_n,fib_{n-1})=1\)
连续使用更相减损术即可
\(
\begin{aligned}
&\gcd(fib_{k+1},fib_k)\\
=&\gcd(fib_k,fib_{k+1}-fib_k)\\
=&\gcd(fib_k,fib_{k-1})\\
=&\gcd(fib_{k-1},fib_{k-2})\\
=&\dots\\
=&\gcd(fib_2,fib_1)\\
=&\gcd(1,1)\\
=&1
\end{aligned}
\)
另外，当运用辗转相除法计算相邻两项斐波那契数列的最大公因数时，它的计算次数将达到最大。
\(\gcd(fib_n,fib_m)=fib_{\gcd(n,m)}\)
设 \(k=m-n, m=n+k\)
\(fib_m=fib_{n+k}=fib_n \times fib_{k+1}+fib_{n-1} \times fib_{k}\)
\(\gcd(fib_n,fib_m)=\gcd(fib_n,fib_n \times fib_{k+1}+fib_{n-1} \times fib_{k})\)
\(\because fib_n \mid fib_n \times fib_{k+1}\)
\(
\begin{aligned}
\therefore \quad &\gcd(fib_n,fib_n \times fib_{k+1}+fib_{n-1} \times fib_{k})\\
=&\gcd(fib_n,fib_{n-1} \times fib_{k})\\
=&\gcd(fib_n,fib_{n-m})
\end{aligned}
\)
观察到 \(\gcd(fib_n,fib_m)=\gcd(fib_n,fib_{n-m})\) 与更相减损术中的 \(\gcd(n,m)=\gcd(n,n-m)\) 相似，所以将两者同时执行类似更相减损术的操作，过程中的 \(n,m\) 值始终相等。
所以 \(\gcd(fib_n,fib_m)=fib_{\gcd(n,m)}\)
\(\sum_{i=1}^{n}fib_i=fib_{n+2}-1\)
在等号左边补上一个 \(fib_2\) 后可以连续合并，最后再减去 \(fib_2=1\)。
\(
\begin{aligned}
\quad &\sum_{i=1}^{n}fib_i\\
=&fib_1+fib_2+fib_3+\dots+fib_{n-1}+fib_n\\
=&(fib_1+fib_2+fib_2+fib_3+\dots+fib_{n-1}+fib_n)-fib_2\\
=&(fib_2+fib_3+fib_3+fib_4+\dots+fib_{n-1}+fib_n)-fib_2\\
=&(fib_3+fib_4+fib_4+fib_5+\dots+fib_{n-1}+fib_n)-fib_2\\
=&\dots\\
=&(fib_{n-2}+fib_{n-1}+fib_{n-1}+fib{n})-fib_2\\
=&(fib_{n-1}+fib_n+fib_n)-fib_2\\
=&(fib_n+fib_{n+1})-fib_2\\
=&fib_{n+2}-fib_2\\
=&fib_{n+2}-1
\end{aligned}
\)
\(\sum_{i=1}^{n}fib_{2i-1}=fib_{2n}\)
将 \(fib_{2n}\) 直接拆开即可。
\(
\begin{aligned}
\quad &fib_{2n}\\
=&fib_{2n-1}+fib_{2n-2}\\
=&fib_{2n-1}+fib_{2n-3}+fib_{2n-4}\\
=&fib_{2n-1}+fib_{2n-3}+fib_{2n-5}+fib_{2n-6}\\
=&\dots\\
=&fib_{2n-1}+fib_{2n-3}+\dots+fib_1\\
=&\sum_{i=1}^{n}fib_{2i-1}=fib_{2n}
\end{aligned}
\)
\(\sum_{i=1}^{n}fib_i^2=fib_n \times fib_{n+1}\)
（上图建议在浅色模式下观看）
将斐波那契数列转换成上图，每一项对应一个正方形的边长
总面积为 \(\sum_{i=1}^{n}fib_i^2\)，短边长为 \(fib_n\)，长边长为 \(fib_{n+1}\)
所以 \(\sum_{i=1}^{n}fib_i^2=fib_n \times fib_{n+1}\)
\(fib_n^2=fib_{n-1} \times fib_{n+1} + (-1)^{n-1}\)
暂时证明不来，可以从面积的方面考虑，大佬也可尝试数学归纳法
\(fib_n=\dfrac{fib_{n+2}+fib_{n-2}}{3}\)
\(
\begin{aligned}
\quad &fib_{n+2}+fib_{n-2}\\
=&fib_{n+1}+fib_n+fib_{n-2}\\
=&fib_{n}+fib_{n-1}+fib_n+fib_{n-2}\\
=&2fib_n+fib_{n-1}+fib_{n-2}\\
=&3fib_n
\end{aligned}
\)
\(\therefore \dfrac{fib_{n+2}+fib_{n-2}}{3}=\dfrac{3fib_n}{3}=fib_n\)
\(\dfrac{fib_i}{fib_{i-1}}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \approx 1.618\)
\(\dfrac{fib_i}{fib_{i+1}}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618\)
\[fib_n=\dfrac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}}
\]